Filosofický časopis

Jan Šebestík: Zamyšlení Petra Vopěnky nad Bolzanem číslo 4/2016

Bolzano byl pro Petra Vopěnku nejen důležitou postavou v dějinách matematiky, ale i zdrojem inspirace a zároveň konfrontace. Téměř v každé Vopěnkově práci zaujímá Bolzano podstatné místo, zvláště v těch případech, kdy se jedná o teorii množin. Bolzanovým Paradoxům nekonečna věnoval Vopěnka celou knihu: Vyprávění o kráse novobarokní matematiky. Vrací se v ní jako k živné půdě moderní vědy až k diskusím a zápasům různých křesťanských sekt v prvních čtyřech stoletích našeho letopočtu, pokračuje nástupem protestantismu, zabývá se Cervantesovým Donem Quijotem a španělských barokem. To vše jej vede k pojetí nekonečna u sv. Augustina, Tomáše Akvinského, Giordana Bruna, Rodrigua de Arriagy a jiných. Zatímco středověcí učenci se nedokázali dobře vypořádat s problémem aktuálního nekonečna, moderní evropská věda (Gauss, Cauchy atd.) se vrátila k aristotelskému potenciálnímu nekonečnu a jeho aktualizaci odmítla.

Bolzano, který vyrostl v domácí novoscholastické tradici, uvedl jako první z učenců aktuální nekonečno do matematiky. V § 20 Paradoxů uvádí atribut, který je běžně interpretován jako charakteristická vlastnost nekonečných množin. Vopěnka interpretuje tento text jako univerzální kolaps, jako možnost převedení všech Cantorových mohutností na mohutnost spočetného nekonečna. Ukazuje také, proč Bolzano nezaložil svou teorii na ekvivalentních třídách různých nekonečných množin spjatých bijekcí a namísto toho hledal nekonečné veličiny mezi hyperreálnými čísly. Můj příspěvek chce poukázat na všechny závažné Vopěnkovy texty, v nichž se zabývá Bolzanem, a ukázat jeho originalitu i nosnost jeho pojetí.

Klíčové pojmy: Bernard Bolzano, barokní kultura, potenciální a aktuální nekonečno, nekonečné množiny, bijekce, paradoxy nekonečna, reflexivita nekonečných množin, generální kolaps

Petr Vopěnka’s Reflections on Bolzano

For Petr Vopěnka, Bolzano was not only an important figure in the history of mathe­matics, but also a source of inspiration and a locus of confrontation. Almost in every one of his works, Bolzano takes an essential place, especially when Vopěnka talks about set theory. He dedicated a whole book Podivuhodný květ českého baroka (The Wonderful Flower of the Czech Baroque, Praha, Karolinum 1998) to Bolzano’s posthumous Paradoxy nekonečna (Paradoxes of the Infinite, 1851). There he returns to the native grounds of modern science, namely the discussions and quarrels between different Christian sects in the first four centuries, followed after more than a thousand years by Protestantism. His pilgrimage leads us to Cervantes, the Spanish mystics and the Spanish baroque. All this goes together with a discussion of the infinite according to Augustine, Thomas Aquinas, Giordano Bruno, Galilei, Rodrigo de Arriaga and others. While Medieval scholasticism showed reticence towards actual infinity, modern science (Gauss, Cauchy, etc.) has refused it without hesitation and has returned to Aristo­telian potential infinity.

Bolzano, educated in the 18th century neo-scholastic tradition in Bohemia, was the first important mathematician to have introduced actual infinite collections and sets into mathematics. In section 20 of his Paradoxes, he stated a characteristic property of infinite sets: their reflexivity (the possibility to put into 1-1 correspondence a set with some of its infinite subsets). Vopěnka interprets this text as a general collapse, namely the possibility to reduce all Cantorian cardinalities of infinity to one: that of the natural numbers. He also shows, why Bolzano sought his infinite numbers not among Cantor´s cardinalities, but among infinite sums of real numbers.

Keywords: Bernard Bolzano, baroque culture, potential infinite, actual infinite, infinite sets, bijection (1-1 mapping), paradoxes of the infinite, reflexivity of infinite sets (the existence of a bijection between an infinite set and some of its infinite subsets), general collapse (each infinite set can be bijectively mapped on the set of the natural numbers)

Zakoupit článek

Filosofický časopis © 2017